«Να δεις τον κόσμο σε έναν κόκκο άμμου
Τον ουρανό σε ένα άγριο λουλούδι
Να κρατήσεις το άπειρο στην παλάμη του χεριού σου
Και την αιωνιότητα μέσα σε μιαν ώρα
Τότε κρατάς την ευτυχία στα χέρια σου»

W. Blake

Με την έννοια του άπειρου έχουν ασχοληθεί κατά καιρούς τα μεγαλύτερα μυαλά που γέννησε ποτέ η ανθρωπότητα. Από την αρχαία Ελλάδα και τον Αριστοτέλη, μέχρι τον μεγάλο Γερμανό μαθηματικό Georg Cantor.

Για τον περισσότερο κόσμο σήμερα, το άπειρο είναι κάτι που δεν τελειώνει ποτέ.

Είναι όμως άραγε το άπειρο απλώς μια αφηρημένη έννοια κατασκευασμένη από τον άνθρωπο; Ή μπορεί να υπάρχει στον πραγματικό κόσμο;

Αρχικά η έννοια του απείρου ξεκίνησε από τα μαθηματικά. Ακόμη όμως και στο ίδιο το πλαίσιο των μαθηματικών η έννοια του έχει πολλαπλές χρήσεις.

Συχνά αναφέρεται ως ένα είδος εικονικού ορίου στο τέλος της γραμμής των πραγματικών αριθμών, μερικές φορές επίσης μπορεί να σημαίνει κάτι πολύ μεγάλο για να υπολογιστεί από τον άνθρωπο ή κάποιον υπερ-υπολογιστή. Το σίγουρο είναι όμως ότι δεν υπάρχει μόνο ένας τύπος απείρου.

Ο Αριστοτέλης ο οποίος ήταν απ’όσο ξέρουμε ο πρώτος που εξέτασε το ζήτημα του απείρου, διακρίνει δυο είδη: το πιθανό άπειρο και το πραγματικό άπειρο. Το πιθανό άπειρο είναι στην ουσία μια λίστα πραγμάτων που δεν τελειώνει ποτέ. Όπως ας πούμε οι φυσικοί αριθμοί 1, 2, 3, 4, 5… και ούτω καθεξής. Όσο και να μετράμε, πάντα μπορούμε να προσθέσουμε μια ταπεινή μονάδα και να προχωρήσουμε στον επόμενο αριθμό. Αυτός ο τύπος απείρου ήταν και ο μοναδικός που δεχόταν ότι μπορεί να υπάρξει.
Το πραγματικό άπειρο, με την έννοια ενός αντικειμένου το οποίο παραδείγματος χάρη έχει άπειρη πυκνότητα όπως μια Μαύρη Τρύπα, ή άπειρη θερμοκρασία σε ένα σημείο του δεν μπορούσε να το δεχτεί διότι του φαινόταν παράλογο.

Πάνω σε αυτόν ακριβώς τον συλλογισμό στηρίχθηκε η χριστιανική σκέψη γι αρκετές χιλιάδες χρόνια,  αφού η μόνη άπειρη ποσότητα που θα μπορούσε να υπάρξει σύμφωνα με την υπάρχουσα λογική ήταν ο θεός.

Στο τέλος όμως του 19^ου αιώνα ο σπουδαίος Γερμανός μαθηματικός Georg Cantor (3 Μαρτίου 1845 - 6 Ιανουαρίου 1918) ανέπτυξε μια πιο κομψή και ολοκληρωμένη θεωρία για το άπειρο. Ο Cantor συνειδητοποίησε ότι υπάρχουν «μικρότερα» και «μεγαλύτερα» είδη απείρου.

Το μετρήσιμο άπειρο το οποίο και θεώρησε «μικρό άπειρο» είναι ένα άπειρο το οποίο μπορεί κυριολεκτικά να μετρηθεί.

Πως μετράμε όμως κάτι;

Ας ξεκινήσουμε από τα πολύ βασικά. Ας πούμε ότι θέλουμε να μετρήσουμε τα γράμματα του ελληνικού αλφάβητου. Στην ουσία αυτό που κάνουμε είναι να αντιστοιχίζουμε ένα - ένα τα στοιχεία του συνόλου των γραμμάτων με τους φυσικούς αριθμούς ως εξής:

Α -> 1, Β -> 2, Γ -> 3 …Ψ -> 23, Ω -> 24. Άρα καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι έχουμε 24 γράμματα μέσα στο σύνολο του αλφάβητου.

Άρα λοιπόν τα πράγματα μετρούνται όταν μπορούμε να βρούμε μια ένα προς ένα αντιστοιχία τους με τους φυσικούς αριθμούς.

Σκεφτείτε  τώρα το εξής: Αν πάρουμε το σύνολο των ζυγών αριθμών, έχουμε  Ζ= {2, 4, 6, 8… }. Μπορούμε να “μετρήσουμε” τους αριθμούς αυτού του συνόλου αν απλώς και πάλι τους αντιστοιχίσουμε με τους φυσικούς αριθμούς ως εξής:

2 -> 1ος,  4 -> 2ος, 6 -> 3ος, 8 -> 4ος  … κ.ο.κ.

Θεωρητικά, μπορούμε να μετράμε για πάντα, χωρίς ποτέ να φτάσουμε στον μεγαλύτερο αριθμό, του οποίου τη θέση ας την συμβολίσουμε με το γράμμα Α που είναι το αρχικό της λέξης Άπειρο. Έχουμε δηλαδή Α ζυγούς αριθμούς.

Κάνουμε τώρα το ίδιο με τους μονούς Μ={1, 3, 5, 7…}. Τους μετράμε και αυτούς πάλι με την ίδια αντιστοίχιση:
1 -> 1ος, 3 - > 2ος, 5 -> 3ος … κ.ο.κ Βλέπουμε δηλαδή ότι πάλι υπάρχουν Α μονοί αριθμοί.

Δεδομένου ότι και οι φυσικοί αριθμοί είναι Α, οδηγούμαστε στο μάλλον περίεργο συμπέρασμα ότι Α + Α = Α δηλαδή 2Α = Α!!! Αυτό φυσικά θα ίσχυε αν η λίστα των αριθμών ήταν πεπερασμένη. Αλλά όταν η λίστα είναι άπειρη τα πράγματα αλλάζουν.

 Ο Cantor έδειξε ότι υπάρχουν και άλλοι τύποι άπειρων που είναι κατά κάποιο τρόπο απεριόριστα «μεγαλύτεροι» επειδή δεν μπορούν να μετρηθούν με τον τρόπο που περιγράψαμε παραπάνω. Ένα τέτοιο είδος άπειρου είναι οι πραγματικοί αριθμοί. Δηλαδή οι δεκαδικοί αριθμοί, τα κλάσματα, οι ρίζες, όλοι οι αριθμοί που χρησιμοποιούνται στην καθημερινότητά μας. Δεν υπάρχει τρόπος να τους αντιστοιχίσουμε με τους φυσικούς αριθμούς. Αυτό είναι ένα «αμέτρητο» άπειρο, που ονομάζεται αλλιώς «Συνεχές». Και πάνω από αυτό ο Cantor έδειξε ότι μπορούμε να  βρούμε απείρως μεγαλύτερα σύνολα από τους πραγματικούς αριθμούς,  απλώς αν φτιάξουμε ένα σύνολο που θα περιέχει όλα τα δυνατά υποσύνολα των πραγματικών αριθμών!

 Η κλειδαρότρυπα του Απείρου

Ένας άλλος τύπος άπειρου προκύπτει μέσω της θεωρίας της Γενικής Σχετικότητας του Αϊνστάιν, η οποία υποδηλώνει ότι ένα διαστελλόμενο Σύμπαν όπως το δικό μας άρχισε σε ένα χρονικό διάστημα στο πεπερασμένο παρελθόν, όταν η πυκνότητα του ήταν άπειρη. Η γνωστή σε όλους θεωρία της Μεγάλης Έκρηξης. Η θεωρία του Αϊνστάιν προβλέπει επίσης ότι αν πέσετε σε μια μαύρη τρύπα θα συναντήσετε άπειρη πυκνότητα στο κέντρο της.(Αν φυσικά καταφέρετε να φτάσετε μέχρι εκεί!) Αυτού του είδους τα άπειρα είναι πραγματικά άπειρα και δεν θα αρέσουν καθόλου ούτε στον Αριστοτέλη, ούτε στην χριστιανική εκκλησία! Οι κοσμολόγοι βέβαια λατρεύουν τέτοιου είδους άπειρα και μάλιστα πιστεύουμε ότι όχι μόνο υπάρχουν αλλά έχουν παίξει και τεράστιο ρόλο στη δομή του κόσμου μας.

Ας υποθέσουμε τώρα ότι το Σύμπαν τελικά θα σταματήσει να επεκτείνεται και κάποια στιγμή θα αρχίσει να συστέλλεται πίσω σε ένα απείρως μικρό σημείο  με άπειρη πυκνότητα. Αυτή η συμπύκνωση δεν θα είναι ταυτόχρονη επειδή μερικά μέρη του σύμπαντος, όπου υπάρχουν οι γαλαξίες παραδείγματος χάριν, είναι πυκνότερα από άλλα. Αυτά τα πιο πυκνά μέρη θα προχωρήσουν γρηγορότερα από τα πιο αραιά μέρη του Σύμπαντος. Αν λοιπόν βρισκόμασταν σε ένα αραιό μέρος του Σύμπαντος θα μπορούσαμε να δούμε το τέλος κάποιων πιο πυκνών περιοχών. Θα μπορούσαμε να δούμε τον χωροχρόνο να καταστρέφεται στις περιοχές αυτές.

Θα ρίχναμε μια κλεφτή ματιά στο Άπειρο.

Κάτι ανάλογο συμβαίνει στο κέντρο μιας Μαύρης Τρύπας, αφού όπως είπαμε πριν είναι χώρος άπειρης πυκνότητας. Δυστυχώς όμως οι Μαύρες Τρύπες δεν μας επιτρέπουν να κοιτάξουμε στην κλειδαρότρυπα του Απείρου, διότι γύρω τους δημιουργούν έναν Ορίζοντα, απ’όπου ούτε το φως το ίδιο δεν μπορεί να διαφύγει, καθιστώντας μας ανήμπορους να δούμε το οτιδήποτε συμβαίνει εκεί.

Είναι τελικά Άπειρο το Σύμπαν;

Ένα άλλο ερώτημα είναι εάν το Σύμπαν μας είναι χωρικά πεπερασμένο ή άπειρο. Θα μπορούσε να είναι πεπερασμένο, αλλά με μέγεθος αυθαίρετα μεγάλο. Βέβαια τότε τίθεται αμέσως το ερώτημα για το τι είναι πέρα ​​από αυτό.

Η απάντηση είναι πως δεν θα μπορούσαμε να ξέρουμε τι υπάρχει, όμως η αλήθεια είναι ότι δεν χρειάζεται να υπάρχει τίποτα πιο πέρα.

Για να το κατανοήσουμε αυτό, ας σκεφτούμε για λόγους ευκολίας και μόνο, ένα δισδιάστατο Σύμπαν. Σαν μια κόλλα χαρτί.

Αν πάρουμε ένα φύλλο χαρτιού, το οποίο φυσικά είναι πεπερασμένο, βλέπουμε ότι έχει άκρα. Άρα θα σκεφτεί κανείς, πώς θα μπορούσε ένα πεπερασμένο σαν μια κόλλα χαρτί Σύμπαν να μην έχει και αυτό με την σειρά του άκρα;  

Το θέμα είναι ότι χαρτί είναι επίπεδο. Δεν χρειάζεται να είναι έτσι. Αν κυρτώσουμε το χαρτί φτιάχνοντας μια σφαίρα, τότε η επιφάνεια της σφαίρας είναι πεπερασμένη, αλλά δεν έχει άκρα. Αντίθετα με το επίπεδο κομμάτι χαρτιού, ποτέ δεν συναντάμε την άκρη αν περπατήσουμε πάνω της. Έτσι, οι καμπύλοι χώροι μπορούν να είναι πεπερασμένοι αλλά δεν έχουν κανένα όριο ή άκρη.

Για να κατανοήσουμε ένα διαστελλόμενο δισδιάστατο σύμπαν, ας σκεφτούμε την επιφάνεια ενός μπαλονιού με τους γαλαξίες ζωγραφισμένους στην επιφάνειά του. Όταν αρχίσει να διογκώνεται, οι γαλαξίες αρχίζουν να απομακρύνονται ο ένας από τον άλλο. Όπου και αν βρισκόμαστε στην επιφάνεια του μπαλονιού, θα δούμε όλους αυτούς τους γαλαξίες να απομακρύνονται από εμάς. Το κέντρο όμως της διαστολής αυτής δεν είναι στην επιφάνεια του μπαλονιού, είναι σε άλλη διάσταση, στην περίπτωση αυτή στην τρίτη διάσταση.

Έτσι, το τρισδιάστατο Σύμπαν μας, αν είναι πεπερασμένο και καμπυλωτό, συμπεριφέρεται σαν να είναι η τρισδιάστατη επιφάνεια μιας φανταστικής τετραδιάστατης μπάλας.

Ηλίας Σεκέρης